Математика

Математика применяется почти во всех сферах научной и практической деятельности человека; является одной из важнейших учебных дисциплин, способствует развитию интеллектуального потенциала и логического мышления.

Первым известным трудом по математике, положившим начало аксиоматическому методу, является сочинение Евклида «Начала» (III в. до нашей эры), в котором геометрия представлена как систематическое исследование с собственными методами, задачами, критериями истинности. В основу изложения была положена система исходных аксиом (положений, считающихся очевидными, не требующими доказательств) и выводимых из них с помощью логических рассуждений теорем, число которых не ограничено.

Развитию математики способствовали не только практические задачи, но и потребности самой науки, что привело к существенному росту объема математических знаний. В арабских странах и Индии было расширено понятие числа, разработана удобная позиционная система счисления.

Развитие математики привело ко все возрастающему уровню абстракции изучаемых понятий. Так, ее новый уровень в математике ознаменовал возникновение новой области знаний – алгебры.

Потребности общества, развитие экономики и мореплавания стимулировали появление современной алгебраической нотации и новых методов. В XVI в. были созданы методы решения алгебраических уравнений третьей и четвертой степеней. Метод координат, дифференциальное и интегральное исчисления позволили решать ряд важных проблем единым методом.

Математические знания были востребованы новой прикладной наукой – механикой. Теория конических сечений, разработанная в древности в процессе развития математики, была неожиданно использована для описания движения планет.

Дальнейшее развитие математики характеризовалось углубленным интересом к ее основам, развитием ряда областей математики исходя из ее потребностей, далеко идущими обобщениями понятий «число» и «пространство». Новые числа появлялись сначала для облегчения выкладок при решении задач с привычными числами и лишь потом – как самостоятельный объект исследования, иногда порождавший новые обобщения. Обобщения понятия трехмерного евклидова пространства привели к многомерным и бесконечномерным пространствам, неевклидовым геометриям, функциональным и топологическим пространствам. Так, в современной математике под пространством понимается множество каких-либо объектов (называемых точками), снабженное дополнительными алгебраическими, топологическими, порядковыми и другими структурами.

Математика и самые абстрактные ее области начали применяться во многих других науках. Появление компьютеров стимулировало возникновение и развитие новых математических дисциплин: кибернетики, математического моделирования, дискретной математики, теории приближенных вычислений, которые используют современную алгебру, теорию чисел и функциональный анализ.

Развитие математики в Казанской губернии неразрывно связано с историей Казанского университета, где работали ученые, обогатившие математическую науку рядом открытий и фундаментальных обобщений. Становление первых профессиональных математиков проходило под влиянием приглашенного в 1808 г. в университет для преподавания М.Бартельса – ученого с большим математическим кругозором и педагогическим даром.

Выдающийся вклад в развитие математики внес Н.И.Лобачевский, создавший новую геометрию с системой аксиом, отличной от системы аксиом Евклида. Теория Лобачевского не только раздвинула рамки геометрии, но и внесла существенный вклад в переосмысление целей математики. Открытие Лобачевского носило революционный характер и получило признание лишь после его смерти. Так, его исследования тригонометрических рядов по своим постановкам опередили эпоху на несколько десятилетий. Он дал оригинальное построение теории гамма-функций, открыл некоторые неизвестные их свойства, в алгебре предложил более совершенный способ приближенного вычисления корней уравнений высших степеней.

Прекрасный педагог и лектор, Лобачевский оказал большое влияние на становление ученых разных специальностей (химики Н.Н.Зинин и А.М.Бутлеров начали свою научную деятельность, специализируясь по математике под руководством Лобачевского).

Во второй половине XIX в. А.Ф.Поповым, учеником Лобачевского, были проведены исследования по гидромеханике. В.Г.Имшенецкий, ученик Попова, занимался проблемами интегрирования уравнений в частных производных. Его диссертация была переведена на французский и немецкий языки, получила высокую оценку норвежского математика Софуса Ли, одного из крупнейших математиков конца XIX в.

В магистерской диссертации В.П.Максимовича был получен результат о невозможности интегрирования в квадратурах общего линейного дифференциального уравнения второго порядка. В работах Ф.М.Суворова найдены дифференциальные инварианты трехмерных римановых пространств.

А.В.Васильев, в течение 20 лет возглавлявший Казанское физико-математическое общество, вплотную подошел к открытию автоморфных функций. Его диссертация «Теория отделения корней систем алгебраических уравнений» отличается использованием самых разных методов исследования. Васильев сыграл большую роль в учреждении Международной премии имени Н.И.Лобачевского, издании собрания сочинений и первой научной биографии Лобачевского. А.П.Котельников, используя обобщенные комплексные числа, развил аппарат винтового исчисления, аналогичного векторному. Он доказал, в частности, что пространство скоростей специальной теории относительности является пространством Лобачевского.

Д.Н.Зейлигер построил комплексную теорию линейчатых пространств. Д.М.Синцов провел первое в России исследование неголономной геометрии. П.С.Порецкий (по специальности астроном) прочел в Казанском университете первый в России курс математической логики.

Новый период развития математических исследований в республике начался в 1920-е гг. Расширение университета, открытие других вузов с математическими кафедрами привели к существенному увеличению числа ученых, занимавшихся математикой. Большую роль в формировании научного потенциала сыграл Н.Н.Парфентьев, в течение ряда лет возглавлявший Казанское физико-математическое общество. Его собственные научные интересы лежали в области механики, но он привлек к математическим исследованиям ряд молодых ученых, работы которых положили начало новым научным направлениям.

Развитие геометрии в Казанском университете неразрывно связано с именем П.А.Широкова. Важнейшими являются его исследования по теории симметрических пространств. П.А.Широков первым из отечественных геометров овладел методами тензорного анализа и применил их для решения ряда важных проблем римановой геометрии. В дальнейшем геометрическую школу в Казани возглавил А.П.Норден, создатель метода нормализации в теории поверхностей проективных пространств. Исследования А.П.Котельникова, П.А.Широкова, А.П.Нордена привели к формированию А.П.Широковым научного направления Казанской геометрической научной школы – геометрии над алгебрами. Мировую известность получили работы А.З.Петрова по геометрическим проблемам в общей теории относительности Эйнштейна. Б.Л.Лаптев одним из первых начал исследования по дифференциальной геометрии расслоенных пространств.

Большое значение имело приглашение в 1927 г. в Казань Н.Г.Чеботарёва и открытие по его инициативе в 1934 г. Института математики и механики при Казанском университете. Алгебраические исследования Чеботарёва в ряде областей математики – теория Галуа, теория групп Ли, проблема продолжаемости полиномов и целых функций, проблема резольвент – получили мировую известность. Его ученик И.Д.Адо доказал знаменитую теорему о представлении алгебр Ли, В.В.Морозов – теорему регулярности максимальных подалгебр полупростых алгебр Ли.

Исследование по теории функций развил Б.М.Гагаев, им была решена одна проблема Н.Н.Лузина. Его ученик Г.С.Салехов получил фундаментальные результаты в области теории Коши-Ковалевской. М.И.Альмухамедов доказал ряд теорем из качественной теории дифференциальных уравнений, связанных с работами французского математика А.Пуанкаре. Исследования по краевым задачам были начаты Ф.Д.Гаховым, результаты его работ вошли в учебники по уравнениям в частных производных и теории функций комплексного переменного.

В современной математической литературе также отмечаются математические объекты, введенные казанскими механиками (уравнение Громеки–Бельтрами, форма Громеки–Лэмба, теорема Четаева, метод Четаева, уравнение Пуанкаре–Четаева, теория Доннела–Муштари, критерий Каменкова и др.). Многие современные исследования казанских математиков связаны с теорией обратных краевых задач, развитой Г.Г.Тумашевым и М.Т.Нужиным в связи с задачами аэрогидромеханики.

Во второй половине ХХ в. были продолжены исследования в традиционных для казанских математиков областях знаний – алгебре (В.В.Морозов, Ю.Б.Ермолаев, И.И.Сахаев, С.М.Скрябин), геометрии (А.П.Норден, Б.Л.Лаптев, В.В.Вишневский, Б.Н.Шапуков, А.П.Широков, В.В.Шурыгин), анализа математического (Б.М.Гагаев и его ученики), дифференциальных уравнений (М.И.Альмухамедов, Г.С.Салехов, В.Р.Фридлендер, Л.Д.Эскин, М.Д.Бронштейн), краевых задач (Ф.Д.Гахов, Л.И.Чибрикова, И.А.Бикчантаев, В.И.Жегалов, Ю.Г.Обносов).

В рамках этих областей начались исследования по новым направлениям – математические проблемы теории относительности (А.З.Петров, А.В.Аминова, В.Р.Кайгородов и др.), геометрическая теория функций комплексного переменного (Л.А.Аксентьев, Ф.Г.Авхадиев, Б.А.Кац, А.М.Елизаров, С.Р.Насыров и др.), вычислительные методы (А.Д.Ляшко, М.М.Карчевский, А.В.Лапин, И.Б.Бадриев, Р.З.Даутов и др.), методы оптимизации (Я.И.Заботин, И.В.Коннов и др.), теория приближений (Б.Г.Габдулхаев, Н.С.Габбасов и др.).

Получили развитие новые для Казани области математики: кибернетика и дискретная математика (Р.Г.Бухараев, Ф.М.Аблаев, Ю.В.Голунков, Р.Х.Латыпов, Р.Г.Нигматуллин и др.), вероятностей теория и математическая статистика (А.В.Сульдин, И.Н.Володин, В.И.Ладохин, Д.Х.Муштари, А.Н.Чупрунов и др.), функциональный анализ (А.Н.Шерстнев, С.А.Григорян, М.С.Матвейчук, О.Е.Тихонов, Н.В.Трунов и др.), теория чисел (Г.А.Фрейман, Е.В.Новосёлов, Д.А.Москвин), математическая логика (М.М.Арсланов, В.Д.Соловьёв и др.), математические проблемы программирования (Н.К.Замов), математическая физика (М.Д.Миссаров), топологические линейные пространства (Ю.И.Грибанов, Н.М.Зобин).

Исследования по математике проводятся в вузах, академических и научно-исследовательских институтах Казани. Для подготовки специалистов-математиков на базе физико-математического факультета Казанского университета были открыты в 1960 г. механико-математический факультет, в 1979 г. факультет вычислительной математики и кибернетики.

Неформальными объединениями ученых-математиков стали постоянные научные семинары по различным проблемам математики, проводимые в Казанском университете. С 1936 г. проходят математические олимпиады для школьников, в 1961 г. создана специализированная физико-математическая школа при Казанском университете.

В 1891–1949 гг. издавался журнал «Известия физико-математического общества при Казанском университете», с 1957 г. – научно-теоретический журнал «Известия высших учебных заведений. Математика».

В 1895 г. учреждена Международная премия имени Н.И.Лобачевского за выдающиеся научные достижения в области геометрии, преимущественно неевклидовой, в 1991 г. – медаль имени Н.И.Лобачевского.

История отечественной математики: В 4 томах. Киев, 1966–1970.

Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. Москва, 1968.

Казанский университет. 1804–1979: Очерки истории. Казань, 1979.

Шакирова Л.Р. Казанская математическая школа. Казань, 2002.

Изотов Г.Е. Казанское физико-математическое общество. Казань, 2003.

The New Encyclopaedia Britannica. 15 The Edition. Chicago, 1999. Volume 7.

Авторы – Р.Г.Бухараев, Д.Х.Муштари, Б.Н.Шапуков, А.Н.Шерстнев