Алгебра

Первоначально развивалась как учение о буквенных выражениях, преобразовании формул, составленных из букв. В конце XVII – начале XIX веках алгебра формировалась в первую очередь как наука об уравнениях.

Современная алгебра изучает совокупности объектов различной природы, на которых заданы операции, по своим свойствам более или менее сходные с действиями сложения и умножения над рациональными числами. Такие операции называются алгебраическими, а законы, которым они подчиняются, аксиомами.

Как правило, аксиомы возникают при рассмотрении глубоких задач геометрии, математического анализа, физики, самой алгебры. Она классифицирует совокупности с заданными на них алгебраическими операциями по их свойствам и изучает различные задачи, естественно возникающие в этих совокупностях.

В Татарстане первые значительные исследования по алгебре проводились в Казанском университете еще Н.И.Лобачевским, которому, в частности, принадлежит один из распространенных способов приближенного вычисления корней алгебраического уравнения. Этот способ изложен в его книге «Алгебра» (1834).

Расцвет алгебраических исследований в Казани приходится на 1930-е годы, когда усилиями выдающегося алгебраиста Н.Г.Чеботарёва в Казанском университете открывается кафедра алгебры и создается Научно-исследовательский институт математики и механики. В этот период Н.Г.Чеботарёвым и его учениками В.В.Морозовым, И.Д.Адо, Н.Н.Мейманом и другими проводились исследования по теории Галуа, теории алгебраических чисел, групп Ли, продолжаемых полиномов и проблеме резольвент.

В 1932 году Н.Г.Чеботарёв выступил на международном математическом съезде в Цюрихе с обзорным докладом по теории Галуа. За годы работы в Казанском университете им получены значительные результаты во многих областях алгебры: в теории полей алгебраических чисел и функций, в проблеме резольвент, создан метод решения классической проблемы о квадрировании круговых «луночек» Гиппократа циркулем и линейкой, которая была решена в 1947 году его учеником А.В.Дородновым.

И.Д.Адо решил проблему существования точного конечномерного представления конечномерных алгебр Ли над полем характеристики нуль.

В.В.Морозов получил полную классификацию всех максимальных неполупростых подгрупп полупростых групп Ли. В 1951 году московский математик Е.Б.Дынкин получил классификацию и полупростых максимальных подгрупп полупростых алгебр Ли. Таким образом, В.В.Морозовым и Е.Б.Дынкиным была полностью решена поставленная еще в XIX веке норвежским математиком Софусом Ли проблема классификации комплексных примитивных многообразий.

Начиная с 1960-х годах в Казанском университете на кафедре алгебры и в Научно-исследовательском институте математики и механики при нем проводятся исследования по теории колец, модулей и категорий, по модулярным алгебрам Ли и их представлениям (И.И.Сахаев, С.Н.Тронин, Ю.Б.Ермолаев, А.Х.Долотказин, Н.А.Корешков, С.М.Скрябин и др.).

Проводятся исследования и в сравнительно новых разделах алгебры, развивающихся на стыке алгебры и математической логики. Изучаются структуры алгоритмической природы, возникающие при рассмотрении и классификации алгоритмически нераспознаваемых объектов (М.М.Арсланов), исследуются конечные рациональные процедуры в линейной Алгебре (Ю.А.Альпин, С.Н.Ильин). Эти работы направлены на разработку актуальных проблем алгебры и ее приложений и проводятся в тесном сотрудничестве с ведущими научными центрами России (Москва, Новосибирск, Нижний Новгород), США, Англии, Германии, Италии и др. стран.

Чеботарёв Н.Г. Собрание сочинений: в 3 т. М. – Л., 1949–1950.

Мальцев А.И. Алгебраические системы. М., 1970.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., 1977.

Автор – М.М.Арсланов