Вероятностей теория и математическая статистика

Возникновение теории вероятности относится к XVII – началу XVIII веков (Б.Паскаль – Франция, И.Бернулли, А.Муавр – Англия). Дальнейшее её развитие обязано трудам П.Лапласа, К.Гаусса и «русской школы» (П.Л.Чебышев, А.А.Марков, А.М.Ляпунов). Окончательное становление теории вероятностей как математической дисциплины связано с выходом книги А.Н.Колмогорова «Основы теории вероятностей» (1930). Возникновение математической статистики относится к рубежу XVII–XVIII веков и связано с развитием страхового дела, формирование обязано трудам К.Пирсона, Дж.Неймана (начало XX века), и окончательное становление – трудам А.Вальда (40-е годы XX века). Крупнейшие достижения в области Вероятностей теории и математической статистики в России принадлежат А.Н.Колмогорову, А.Я.Хинчину, Н.В.Смирнову, С.Н.Бернштейну, Ю.В.Линнику, Ю.В.Прохорову, Л.Н.Большеву, И.А.Ибрагимову и др. Издаётся журнал «Теория вероятностей и её применения» (М., с 1956 года).

Научное направление по теории вероятностей и математической статистике в Татарстане возникло в 1960-х годах в связи с организацией отдела математической статистики в научно-исследовательском институте математики и механики при Казанском университете, первым заведующим которого был А.В.Сульдин. Им изучены вопросы применения вероятностных методов в теории приближений, разработана общая концепция обёртывающего гильбертова пространства и получена теорема о проекции, позволяющая по-новому ставить и решать целый ряд задач в теории приближений. С.В.Григорьевым получены явные формулы прогнозирования для стационарных процессов с квазирациональными спектральными плотностями. B.И.Ладохин исследовал квази-меры, порождённые параболическими дифференциальными уравнениями, и показал, что в некоторых случаях у таких мер может отсутствовать счётная аддитивность. А.Н.Шерстнёв ввёл понятие случайного нормированного пространства и развил теорию этих пространств. Е.А.Беговатов доказал существование расширенного стохастического интеграла для класса случайных процессов более общих, чем процессы с независимыми приращениями. Большую известность в Татарстане получили его работы по применению методов математической статистики к проблемам археологии и истории Татарстана. Е.А.Новосёлов предложил метод решения задач вероятностной теории чисел с помощью введения новой топологии на множестве натуральных чисел.

В 1970–1990-е годы тематика исследований расширилась, затронув почти все разделы теории вероятностей и математической статистики. Получены результаты по теории распределения теоретико-числовых и теории суммирования мультипликативных функций. Д.А.Москвин, Ф.Г.Габбасов, В.Т.Дубровин занимались исследованиями предельных теорем теории вероятностей с теоретико-числовыми применениями. Разработан метод «последовательных приближений» в теории суммирования слабо зависимых случайных величин. Д.А.Москвин получил результаты о вероятностных свойствах траекторий динамической системы. Л.Н.Пушкин доказал, что почти все числа классического Канторова множества нормальны по основанию два. И.Н.Володин исследовал проблемы гарантийности статистического вывода и оптимального планирования объёма испытаний. Им получены высокоточные асимптотические разложения для необходимого объёма выборки, построены универсальные нижние границы для среднего объёма выборки, гарантирующего заданные ограничения на риск статистической стратегии. И.Н.Володин (совместно с А.А.Новиковым и С.В.Симушкиным) разработал теорию d-апостериорной гарантийности статистического вывода. Ими опубликованы труды по применению математической статистики в астрономии, метрологии, к проблемам производственного травматизма и контролю качества. Результаты Д.Х.Муштари относятся к теории вероятностных мер в банаховых и линейных топологических пространствах. Для изучения таких мер им разработан топологический метод и доказаны бесконечномерные аналоги теорем Бохнера и Леви. Д.Х.Муштари и С.Г.Халиуллин применили идеи ультрапроизведений к изучению контигуальных последовательностей вероятностных мер. А.И.Володин доказал ряд теорем общего характера о законе больших чисел для случайных величин со значениями в банаховых пространствах. А.Н.Чупруновым развита теория функциональных предельных теорем для случайных процессов, зависящих от случайного параметра. Е.И.Трофимовым выделены точные функциональные носители некоторых случайных процессов-семимартингалов и случайных полей. М.Д.Миссаровым и Э.Ю.Лернером развит подход, основанный на изучении случайных полей, индексированных p-адическим аргументом.

В настоящее время исследования по теории вероятностей и математической статистики ведутся в научно-исследовательском институте математики и механики и ряде кафедр Казанского университета.

Сульдин А.В. Мера Винера и её приложения к приближённым методам: В 2ч. // Известия вузов. Математика. 1959. № 6; 1962. № 5.

Новосёлов Е.В. Новый метод в вероятностной теории чисел // Известия Академии Наук СССР. Серия математика. 1964. Т. 28, № 2,

Муштари Д.Х. Некоторые общие вопросы теории вероятностных мер в линейных пространствах // Теория вероятностей и её применения. 1973. Т. 18, выпуск. 1.

Володин И.Н. Нижние границы для среднего объёма выборки и эффективность процедур статистического вывода // Теория вероятностей и её применения. 1979. Т. 24, выпуск 1.

Москвин Д.А. К метрической теории эргодических эндоморфизмов двумерного тора // Известия Академии Наук СССР. Серия математика. 1981. Т. 45, № 1.

Авторы – И.Н.Володин, Д.Х.Муштари