Полигауссовы процессы

Общий массив возможных реализаций (в математической статистике – генеральная совокупность) результирующего полигауссового процесса состоит из хаотически перемешанных массивов реализаций гауссовских процессов, а соответствующее этому полигауссовых процессов распределение вероятностей есть взвешенная сумма гауссовских распределений вероятности.

На практике конкретные реализации полигауссовых процессов возникают как выборки из генеральной совокупности согласно распределению вероятностей. Так, в производстве широко распространен частный случай полигауссовых процессов – полигауссова случайная величина, когда при объединении в единую партию продукции, изготовленной на нескольких технологических линиях с неизбежно разными систематическими и случайными разбросами величины заданного параметра, на выходном цеховом контроле получают сумму нормальных (гауссовских) распределений, взвешенную относительными производительностями каждой линии.

Аналогично формируется полигауссово распределение вероятностей глубины вспашки однородных земельных угодий параллельно работающими агрегатами. Полигауссовы процессы наблюдаются в приемниках радиосистем при асинхронной работе передатчиков.

Они проявляются в экономической, демографической, технико-технологической и других сферах деятельности людей. В частности, широко практикуются оптимистический, умеренный и пессимистический прогнозы, имеющие свои тренды и средние отклонения, то есть формы тригауссовых процессов.

В теории вероятностей полигауссовы процессы – это единообразно определяемый класс негауссовских случайных процессов, являющихся вероятностными смесями конечных, счетных или несчетных (континуальных) множеств гауссовских случайных процессов.

Перспективность изучения вероятностных смесей отмечалась французским математиком М.Лоэвом. Методы использования смесей случайных величин в прикладной статистике были систематизированы в работах отечественных ученых С.А.Айвазяна, В.М.Бухштабера, И.С.Енюкова, Л.Д.Мешалкина и других, «условно-гауссовские процессы» использованы А.Н.Ширяевым в задачах фильтрации.

Аппроксимация вероятностных мер смесями гауссовских мер изучалась во второй половине ХХ в. в Казанском университете А.В.Сульдиным, А.А.Дородновым, Н.И.Мальцевой и другими, их статистические оценки – А.Н.Шерстнёвым.

Определение понятия «полигауссовы процессы» (1972), их комплексное изучение, классификация разновидностей и развитие полигауссовых методов посткорреляционных разделов статистической радиотехники осуществлены в Казанском техническом университете и Казанском научно-исследовательском институте радиоэлектроники Ш.М.Чабдаровым, А.Т.Трофимовым, А.Ю.Феоктистовым, Н.З.Сафиуллиным, А.Ф.Надеевым, Р.Р.Файзуллиным, С.В.Козловым и др.

Полигауссовы процессы характеризуются одновременно свойствами вероятностных смесей и гауссовских процессов и потому распространяют многие свойства последних на негауссовские процессы. В частности, полигауссовы процессы инвариантны не только к детерминированным, но и к случайным линейным преобразованиям реализаций; полигауссовы процессы являются предельными как при независимых, так и при зависимых слагаемых. При задании с определенными ограничениями функции одной переменной в паре с функцией двух переменных определяется гауссовский случайный процесс, а полигауссовы процессы – при задании распределения вероятностей на множестве пар таких функций («гауссовские вероятностные спектры»).

Для практики полигауссовы модели и методы важны возможностью единообразной формализации различных негауссовских задач и сведения их решений к специфичным совокупностям решений задач корреляционного уровня. Реальный случайный процесс может быть приближенно по вероятности представлен конкретным полигауссовым процессом с конечным числом гауссовских компонент, а его плотность вероятности – взвешенной линейной комбинацией гауссовских плотностей. Это предопределяет широкое использование обширного теоретического и инженерно-технического арсенала в новых, более сложных условиях в соответствии с возможностями современных информационных и материальных технологий.

Например, в статистической радиофизике и радиотехнике это позволяет: получать полные вероятностные описания случайных процессов в радиолиниях при произвольных негауссовских аддитивномультипликативных помехах и возмущающих воздействиях; разрабатывать методики и условия точности анализа их прохождения через типовые радиотехнические узлы; определять помехоустойчивость корреляционных алгоритмов радиоприема при негауссовских флуктуациях сигналов и помех; получать аналитические и статистические оценки потенциальной помехоустойчивости при единственном ограничении – физической реализуемости флуктуаций сигналов и помех; синтезировать оптимальные алгоритмы радиоприема, а также алгоритмы генерации полигауссовых процессов с управляемыми распределениями вероятности, в том числе с заданными вероятностными мерами и др.

Лоэв М. Теория вероятностей. Москва, 1962.

Прикладная статистика. Москва, 1989.

Чабдаров Ш.М. Полигауссовы представления случайных явлений в радиотехнике // Юбилейный сборник избранных трудов членов Академии наук Республики Татарстан. Казань, 2002.

Казанская научная школа полигауссовых явлений посткорреляционной статистической радиотехники // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2004. Том 7, № 1.

Автор – Ш.М.Чабдаров