Обратные краевые задачи

Для аналитических функций задача ставится так: определить область и аналитическую в ней функцию по заданным на ее границе значениям данной функции. При этом существенно различаются внутренние и внешние задачи.

Теория ОКЗ для аналитических функций как чисто математическое направление создана и разработана в Казанском университете; основатели теории – Г.Г.Тумашев и М.Т.Нужин. Как чисто математическую ОКЗ для гармонической функции двух переменных поставил в 1929 г. Д.Рябушинский (определить контур по заданным на нем значениям гармонической функции и ее нормальной производной). Попытку решить данную задачу предпринял в 1933 г. Б.Демченко, но при этом он предположил, что граничные значения гармонической функции и ее нормальной производной заданы не на искомом контуре, а на некоторой окружности, что значительно упростило решение задачи (такая постановка существенно отличалась от постановки Рябушинского). В дальнейшем Рябушинский и Демченко не возвращались к ОКЗ.

ОКЗ появляются при решении прикладных задач – задач аэрогидродинамики (Ф.Вейниг, 1929 г.; А.Бетц, 1934 г.; В.Манглер, 1938 г.). В 1942–1945 гг. Тумашев предложил оригинальный метод решения ОКЗ аэрогидродинамики (ОКЗА). Существенным моментом в этом методе стало введение области в плоскости комплексного потенциала течения, что позволило поставить и решить ряд новых задач механики жидкости и газа. Значение этих работ вышло за пределы прикладных задач и послужило началом нового направления – теории ОКЗ математической физики.

В 1947 г. Нужин дал общую постановку ОКЗ, сформулировав ее как задачу теории аналитических функций (определить область и аналитическую функцию по ее значениям, заданным на границе области). Такая постановка позволила ввести в плоскости искомой аналитической функции контур, являющийся носителем данных ОКЗ, и исследовать ряд внутренних и внешних ОКЗ. Их классификация для аналитических функций, предложенная Нужиным, исследование их разрешимости и нахождение решений явились фундаментом теории ОКЗ для аналитических функций.

Значительные результаты в чисто математических проблемах ОКЗ получил Ф.Д.Гахов (1952–1955).

Во второй половине ХХ в. исследования по ОКЗ в Казани проводились во взаимодействии работ теоретического и прикладного характера при сотрудничестве ученых Научно-исследовательского института математики и механики и кафедр механики, дифференциальных уравнений и математического анализа Казанского университета. Важные теоретические результаты получены в исследованиях сложных вопросов теоретико-множественного и топологического характера, в решении ОКЗ для многосвязных областей, на римановых поверхностях, в получении признаков однолистности искомых решений (С.Н.Андрианов, B.C.Рогожин, Ю.М.Крикунов, Л.А.Аксентьев, Р.Б.Салимов, М.И.Хайкин, В.Н.Монахов, Ф.Г.Авхадиев, С.Р.Насыров). В прикладных ОКЗ основное внимание было уделено проблемам аэродинамики – задачам построения изолированных крыловых профилей и крыловых профилей бипланов, движущихся под свободной поверхностью и над экраном, профилей решеток турбомашин. Новые направления ОКЗ связаны с теорией фильтрации и теорией взрыва на выброс.

С 1980-х гг. главное внимание сосредоточено на решении ОКЗ аэрогидродинамики (ОКЗА). Один из эффективных способов проектирования и оптимизации крыловых профилей базируется на решении ОКЗА, суть которых состоит в отыскании формы профиля по заданному вдоль его контура распределению скорости или давления. Именно через такие распределения выражаются основные аэродинамические характеристики: подъемная сила, сила сопротивления, аэродинамическое качество.

Значительное число работ по ОКЗА выполнено учеными Центрального аэрогидродинамического института имени Н.Е.Жуковского (Москва) и Казанского университета. Близкие по тематике исследования проводятся также в институте механики Московского университета, институте теоретической и прикладной механики Сибирского отделения Российской академии наук (город Новосибирск), Казанском техническом университете, Самарском аэрокосмическом университете имени С.П.Королёва, Центральном институте авиационного моторостроения имени П.И.Баранова (Москва), Центральном научно-исследовательском институте имени А.Н.Крылова (Санкт-Петербург).

Получили развитие такие перспективные направления, как управление пограничным слоем путем отсоса и выдува с целью улучшения аэродинамических характеристик крыловых профилей, решение обратных задач аэродинамики для многоэлементных крыловых профилей, аэродинамическое проектирование и оптимизация профилей при задаваемых геометрических ограничениях.

В 1980-е гг. в Научно-исследовательском институте математики и механики был разработан способ регуляризации некорректных ОКЗА и построения их квазирешений, позволяющий обеспечить физическую реализуемость решений за счет минимально возможной коррекции исходных данных.

Первая серия работ связана с различными вариантами моделирования отбора внешнего потока, в частности отсоса, что является одним из способов управления пограничным слоем, направленным на улучшение аэродинамических характеристик крылового профиля.

Вторая серия работ связана с проектированием несущих элементов летательных аппаратов, многоэлементных профилей, решением ОКЗА в обобщенных постановках и в многосвязных областях, задач для кусочно-аналитических функций. Наличие этих усложнений приводит к значительным математическим трудностям, которые удается преодолеть, используя различные подходы.

Третья серия работ связана с решением задач оптимального аэродинамического проектирования. Один из подходов к решению плоских задач оптимального аэродинамического проектирования базируется на теории вариационных ОКЗА. В рамках этого подхода исследован ряд оптимизационных задач.

Большой вклад в решение прикладных ОКЗ внесли ученики и последователи Тумашева и Нужина – Л.Л.Лебедев, P.M.Насыров, Ф.М.Мухаметзянов, А.М.Казбан, Н.Б.Ильинский, О.М.Киселёв, Н.Б.Салимов, Н.Д.Якимов, А.М.Елизаров, А.В.Поташёв, Д.А.Фокин, Д.Ф.Абзалилов.

Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань, 1965.

Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1980. Том 18.

Аксентьев Л.А., Ильинский Н.Б. История развития обратных краевых задач в Казани: Очерки истории Научно-исследовательского института математики и механики имени Н.Г.Чеботарёва. Казань, 1989.

Елизаров А.М., Ильинский Н.Б., Поташёв А.В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. Москва, 1994.

Елизаров А.М., Ильинский Н.Б., Поташёв А.В. Развитие исследований по обратным краевым задачам аэрогидродинамики // На рубеже веков: Научно-исследовательский институт математики и механики имени Н.Г.Чеботарёва Казанского государственного университета. 1998–2002 гг. Казань, 2003.

Автор – Н.Б.Ильинский.