Лобачевского геометрия

Впервые основы этой геометрии были опубликованы в сочинении «О началах геометрии» (журнал «Казанский вестник», 1829–1930 гг.). Источником создания геометрии Лобачевского послужило существование проблемы параллелей, так называемой аксиомы параллельности (пятый постулат), выдвинутой Евклидом в его сочинении «Начала» (III в. до нашей эры). В этой работе впервые дано изложение геометрии на основе системы аксиом (см. Геометрия), среди которых важнейшее значение имела аксиома параллельности: на плоскости через всякую точку, не принадлежащую данной прямой, можно провести единственную прямую, не пересекающую данную (параллельную данной прямой). Последователи Евклида полагали, что это утверждение можно доказать на основе других аксиом как теорему. Такие попытки продолжались более двух тысячелетий, однако были безуспешными, поскольку в неявной форме использовалось утверждение, эквивалентное пятому постулату. Проблема пятого постулата оказалась тесно связанной с вопросом об истинном строении физического пространства и приобрела философское звучание в работах немецкого ученого И.Канта, где вопрос о происхождении геометрических истин был поставлен как один из центральных вопросов теории познания.

Лобачевский высказал предположение, что утверждение Евклида о параллельности не является логическим следствием остальных аксиом. Более того, сохранив все остальные аксиомы евклидовой геометрии, но приняв вместо пятого постулата в качестве новой аксиомы его отрицание («на плоскости через всякую точку, не принадлежащую данной прямой, можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данную»), Лобачевский получил новую геометрию. В этом случае существует бесконечное множество прямых, не пересекающих данную. К тем же результатам пришли немецкий математик К.Гаусс (1818) и венгерский математик Я.Бойяи (1832).

Вопрос о логической непротиворечивости Лобачевского геометрии был решен после смерти Лобачевского путем построения моделей (интерпретаций) этой геометрии в рамках других теорий. Первая такая модель была построена итальянским математиком Е.Бельтрами на поверхности постоянной отрицательной гауссовой кривизны (псевдосферы) в евклидовом пространстве (1868). Роль прямых играют геодезические линии этой поверхности. Хотя эта поверхность давала лишь локальную интерпретацию, то есть реализовывала лишь часть плоскости Лобачевского, она сыграла большую психологическую роль в деле признания Лобачевского геометрии.

Первая интерпретация Лобачевского геометрии на основе проективной геометрии (для произвольного числа измерений) была дана в 1871 г. немецким математиком Ф.Клейном, он представил проективную интерпретацию как евклидовой, так и эллиптической геометрии (родственной геометрии сферы) немецкого математика Б.Римана. Клейн изложил групповой подход к геометрии, согласно которому всякая геометрия характеризуется группой преобразований, играющих роль движений и позволяющих сравнивать фигуры между собой. Таким образом, стало ясно, что существуют геометрии, различающиеся между собой не только характером лежащих в их основе элементов, но и строением той группы преобразований, которая играет в этих геометриях роль движений.

Среди других моделей Лобачевского геометрии широко известна также конформная модель французского математика А.Пуанкаре, полученная им при построении теории автоморфных функций комплексного переменного (1882).

Роль Лобачевского геометрии в математике не ограничивается лишь геометрическими рамками. Сам Лобачевский применил методы своей геометрии для вычисления более 200 интегралов, а также для астрономических измерений и решения вопроса о строении реального физического пространства.

В конце XIX в. одним из наиболее существенных вопросов, вставших перед математиками, был вопрос об аксиоматическом обосновании геометрии. Эта работа была завершена в 1899 г. немецким математиком Д.Гильбертом в его книге «Основания геометрии» (Москва–Ленинград, 1948 г.), что стало исходным пунктом для развития других разделов математики.

В начале ХХ в. была установлена тесная связь Лобачевского геометрии с кинематикой специальной теории относительности. Значение Лобачевского геометрии для космологии стало очевидным в результате работ советского ученого А.А.Фридмана (1922). Он нашел решения уравнения А.Эйнштейна, из которых следовал вывод о расширяющейся Вселенной, впоследствии экспериментально подтвержденный американским астрономом Э.Хабблом (1929). В конце ХХ в. появились работы, в которых Лобачевского геометрия и другие неевклидовы геометрии находят приложения в физике, механике, биологии и других естественных науках.

Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений: В 5 томах. Москва–Ленинград, 1946–1951 гг.

Лобачевский Н.И. Научно-педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты. Письма. Москва–Ленинград, 1976.

Норден А.П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. Москва, 1953.

Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. Москва, 1955.

Об основаниях геометрии. Москва, 1956.

Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. Казань, 1964.

Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Москва, 1971.

Лаптев Б.Л. Геометрия Лобачевского, ее история и значение. Москва, 1976.

Автор – Б.Н.Шапуков