Некорректные задачи

Адамар считал, что всякая математическая задача, соответствующая какой-либо физической или технической задаче, должна быть корректной, так как трудно представить, какую физическую интерпретацию может иметь решение, если как угодно малым изменениям исходных данных могут соответствовать большие изменения решения. Это поставило под сомнение целесообразность изучения некорректных задач (примеры приведены самим Адамаром).

Позднее было установлено, что неустойчивыми в определенных метриках являются широко распространенные математические задачи: решение интегральных уравнений первого рода; дифференцирование функций, известных приближенно; численное суммирование рядов Фурье, когда их коэффициент известен приближенно; решение систем линейных алгебраических уравнений в условиях близкого нулю определителя системы; задача Коши для уравнения Лапласа; аналитическое продолжение функций; обратные задачи гравиметрии; минимизации функционалов; некоторые задачи линейного программирования и оптимального управления, а также оптимального проектирования (синтез антенн и других физических систем); управление объектами, описываемое дифференциальными уравнениями. К перечисленным задачам приводят различные физические и технические проблемы, в том числе широкий класс так называемых обратных задач в физике, технике и других отраслях знаний.

Основополагающей в теории некорректных задач стала работа академика А.Н.Тихонова по теории условно-корректных задач, выполненная в Казани (1943).

С конца 1970-х гг. казанскими математиками исследована корректность постановок обратных краевых задач (ОКЗ) теории аналитических функций (Л.А.Аксентьев, Л.Н.Журбенко, Ф.Г.Авхадиев, А.М.Елизаров), разработан метод квазирешений применительно к ОКЗ аэрогидродинамики (А.М.Елизаров, Н.Б.Ильинский, А.В.Поташёв), исследованы коэффициентные обратные задачи для уравнений параболического типа (П.Г.Данилаев), предложены различные комбинированные методы решения некорректных вариационных неравенств, в том числе методы модифицированной функции Лагранжа и методы спуска по интервальной функции (И.В.Коннов). Разработаны алгоритмы статистической регуляризации, позволяющие получать несмещенные оценки нестационарных сигналов в рамках байесовского подхода; для многомерных задач реализован экономический алгоритм решения обратной задачи на основе метода статистической регуляризации (И.Д.Грачёв, М.Х.Салахов, И.С.Фишман). Обсуждены недостатки использования существующих методов решения некорректных обратных задач при обработке экспериментальных данных с особенностями (пропуски в данных, фрактальный шум, сингулярность, нестационарность, дробно-степенной тренд и др.) и предложены пути преодоления этих трудностей (М.Х.Салахов, С.С.Харинцев). Развиты идеи по применению вейвлет-преобразования для устранения вычислительной неустойчивости, в частности предложено использовать базис адаптивных вейвлетов в случае быстропротекающих процессов в нелинейных динамических системах, редукции сложных сигналов, томографии. Показано, что нейросетевые модели с регуляризацией могут быть использованы для моделирования отклика системы на внешнее воздействие, для классификации внутренних состояний, прогноза динамики изменения и адаптивного управления системой (С.С.Харинцев, А.А.Севастьянов, М.Х.Салахов). Методы регуляризации применены также к задачам электрохимической размерной обработки металлов (А.Х.Каримов, В.В.Клоков, Е.И.Филатов).

Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Москва, 1979.

Грачёв И.Д., Салахов М.Х., Фишман И.С. Статистическая регуляризация при обработке эксперимента в прикладной спектроскопии. Казань, 1986.

Каримов А.Х., Клоков В.В., Филатов Е.И. Методы расчета электрохимического формообразования. Казань, 1990.

Елизаров А.М., Ильинский Н.Б., Поташёв А.В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики: Теория и методы проектирования и оптимизации формы крыловых профилей. Москва, 1994.

Салахов М.Х., Харинцев С.С. Математическая обработка и интерпретация спектроскопической информации. Казань, 2001.

Автор – А.М.Елизаров.