Геометрия

Геометрия тесно связана с другими разделами математики, поэтому её границы точно не определены.

Знания по геометрии стали накапливаться с глубокой древности (Египет, Вавилон), что было обусловлено практическими потребностями в измерении площадей земельных участков, объёмов тел, проведении строительных, ирригационных и других работ, астрономических наблюдений.

Впервые в сочинении древнегреческого учёного Евклида «Начала» (III в. до н. э.) сформулированы аксиомы — основные положения геометрии, из которых при помощи доказательств выводились различные свойства простейших фигур.

К достижениям в области геометрии относятся также открытия Архимеда (метод исчерпывания при вычислении площадей и объёмов, III в. до н. э.), Аполлония (учение о конических сечениях, III в. до н. э.), Птолемея (сферическая геометрия, II в. н. э.).

В XVII в. метод координат, созданный Р.Декартом (1637 г.), позволил переводить геометрические задачи на язык чисел и решать их алгебраическими методами, что заложило основу для новых открытий — дифференциального и интегрального исчислений (И.Ньютон и Г.В.Лейбниц).

В XVIII в. в процессе применения методов анализа к изучению кривых и поверхностей евклидова пространства (работы братьев Я. и И.Бернулли, Г.Монжа, Л.Эйлера и др.) были заложены основы классической дифференциальной геометрии (XVIII в.).

В XIX в. важнейшие результаты в теории поверхностей связаны с именем немецкого математика К.Ф.Гаусса, который ввёл понятие внутренней геометрии поверхности (1827 г.) как совокупности её свойств, не изменяющихся при изгибании.

Принципиально новый шаг в развитии геометрии был сделан Н.И.Лобачевским, создавшим новую, логически непротиворечивую геометрию, существенно отличающуюся от евклидовой.

Появление в XIX в. геометрии Лобачевского, а затем и других неевклидовых геометрий стимулировало развитие и совершенствование аксиоматического метода в математике (Д.Гильберт и др.).

К крупным достижениям XIX в. относятся исследования немецкого математика Ф.Клейна, который создал классификацию неевклидовых геометрий на основе теории групп преобразований.

В 1854 г. немецкий математик Б.Риман построил пространства, не укладывающиеся в рамки неевклидовых геометрий. Исследования по римановым многообразиям и их обобщениям привели к понятию так называемых «обобщённых пространств», изучение которых развернулось в XX в. Так, А.Эйнштейн использовал четырёхмерное риманово пространство–время для построения общей теории относительности (1916 г.).

Процесс развития абстрактных подходов в математике на рубеже XIX–XX вв. привёл к переводу геометрии на теоретико-множественную основу. Результаты исследования французского математика А.Пуанкаре по интегральному исчислению на многообразиях, французского математика М.Фреше и немецкого математика Ф.Хаусдорфа по теории метрических многообразий, представители московской математической школы (П.С.Александров, П.С.Урысон, А.Н.Колмогоров, Л.С.Понтрягин) способствовали возникновению нового раздела геометрии — топологии, которая оказала большое влияние на развитие и других областей математики.

В XX в. в дифференциальной геометрии выделились два направления. Одно из них, используя методы математического анализа, изучает локальные свойства геометрических объектов в окрестности данной точки, что позволяет линеаризовать рассматриваемые объекты и использовать методы линейной алгебры. Результатом развития этого направления стала разработка тензорного анализа, теории связностей и ковариантного дифференцирования в работах К.Риччи, Т.Леви-Чивиты, Э.Картана и др.

Второе направление — дифференциальная топология — сформировалось в середине 1930-х гг. благодаря работам Х.Уитни и Э.Штифеля, Л.С.Понтрягина, Ш.Чженя и др.

Выдающиеся результаты в этом направлении получены при изучении топологических инвариантов гладких многообразий в терминах его характеристических классов (В.А.Рохлин, Д.У.Милнор, М.Ф.Атья и др.). Так называемая «геометрия в целом» изучает глобальное строение кривых и поверхностей в евклидовом и неевклидовых пространствах, в том числе и при допущении их негладкости и наличия особых точек (Н.В.Ефимов, А.Д.Александров, А.В.Погорелов, Н.Кейпер и др.).

Учёные казанской геометрической школы внесли значительный вклад в изучение неевклидовых, римановых и «обобщённых» пространств.

Всемирную известность получили результаты П.А.Широкова (1923–1925 гг.), идеи которого по исследованию структур на римановых многообразиях во многом определили направление дальнейших исследований казанских геометров (Б.Л.Лаптев, И.П.Егоров, А.З.Петров, П.И.Петров).

Б.Л.Лаптев применил тензорные методы к исследованию финслеровых многообразий (1938 г.), затем построил общую теорию пространств опорных элементов (1954–1958 гг.).

Результаты мирового уровня были получены А.З.Петровым (1954 г.), применявшим методы римановой геометрии и теории групп к исследованиям полей тяготения в рамках общей теории относительности Эйнштейна. Его учениками (В.Р.Кайгородов, А.В.Аминова и др.) были изучены свойства разных классов римановых многообразий произвольной сигнатуры.

А.П.Норден создал метод нормализации (1937–1938 гг.), который, обладая большой общностью, применялся им и его учениками (В.И.Шуликовский, А.П.Широков, В.В.Вишневский, В.В.Шурыгин и др.) при изучении специальных типов римановых многообразий и многообразий аффинной связности, линейчатой и конформной геометрии.

Работая над результатами Нордена по применению комплексных, двойных и дуальных чисел в геометрии, А.П.Широков разработал теорию многообразий над алгебрами, которая стала одним из основных научных направлений кафедры геометрии Казанского университета.

Учеником Б.Л.Лаптева Б.Н.Шапуковым изучены структуры на расслоённых многообразиях и их приложениях к задачам аналитической механики (1970–1990 гг.).

При исследовании разнообразных структур, наряду с локальными, используются и глобальные методы алгебраической и дифференциальной топологии (В.Е.Фомин, М.А.Малахальцев, К.Б.Игудесман).

В Казани регулярно действует основанный П.А.Широковым геометрический семинар, на котором выступают с докладами отечественные и зарубубежные учёные. Проводятся российские и международные научные конференции.

С 1992 г. (раз в 5 лет) в Казанском университете проходит международный конкурс математиков на присвоение медали имени Н.И.Лобачевского.

Математика, её содержание, методы и значение: В 3 т. М., 1956;

Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М., 1963;

История математики: В 3 т. М., 1970–72;

Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии. М., 1976;

Математика XIX века: Геометрия. М., 1981;

Норден А.П., Широков А.П. Наследие Н.И.Лобачевского и деятельность казанских геометров // Успехи мат. наук. 1993. Т. 48, вып. 2 (290);

Математический энциклопедический словарь. М., 1988.

Автор – Б.Н.Шапуков