Лобачевский геометриясе

Бу геометриянең нигезләре беренче тапкыр аның «Геометриянең башлангычлары турында» («О началах геометрии», «Казанский вестник» журналы, 1829–1830) дигән язмасында басылып чыга. Лобачевский геометриясе барлыкка килүнең чыганагы булып параллельләр проблемасы — Евклидның «Башлангычлар» (б.э.к. III йөз) хезмәтендә күрсәтелгән параллельлек аксиомасы (бишенче постулаты) тора. Бу хезмәттә беренче тапкыр геометрия аксиомалар системасы (к. Геометрия) нигезендә төзеп бирелә, арасында параллельлек аксиомасы аеруча мөһим урынны алып тора: яссылыкта бирелгән туры өстендә ятмаган теләсә нинди нокта аша бу турыны кисеп үтми торган (бирелгән турыга параллель булган) бердәнбер туры үткәрергә мөмкин. Евклидның дәвамчылары бу расламаны башка аксиомалар ярдәмендә теорема кебек исбатларга мөмкин дип уйлаганнар. Мондый эзләнүләр ике меңьеллык буе дәвам итсә дә, уңышсыз тәмамланган, чөнки анык булмаган формада бишенче постулатка эквивалент раслама кулланылган. Бишенче постулат проблемасы физик фәзаның реаль чынлыкта ничек төзелүе турындагы сорау белән тыгыз бәйләнгән булып чыга һәм немец галиме И.Кант хезмәтләрендә фәлсәфи яңгыраш таба: ул геометрик хакыйкатьләрнең килеп чыгышын танып белү теориясендә төп мәсьәләләрнең берсе дип исәпли.

Лобачевский Евклидның параллельлек турындагы расламасы калган аксиомаларның логик нәтиҗәсе түгел дигән фараз әйтә. Шуның өстенә, Евклид геометриясенең барлык башка аксиомаларын саклаган хәлдә, тик бишенче постулат урынына яңасын — аның капма-каршысын («яссылыкта бирелгән туры өстендә ятмаган теләсә нинди нокта аша бирелгән турыны кисеп үтми торган кимендә ике туры үткәрергә мөмкин») куеп, Лобачевский яңа геометрия булдыра. Бу очракта бирелгән турыны кисмәүче чиксез күп турылар булырга мөмкин. Шундый ук нәтиҗәгә немец математигы К.Гаусс (1818) һәм венгр математигы Я.Бойяи (1832) да килә.

Лобачевский геометриясенең логик яктан каршылыксызлыгы мәсьәләсе Лобачевскийның вафатыннан соң, бу геометриянең модельләрен (интерпретацияләрен) башка теорияләр кысасында төзү юлы белән хәл ителә. Шундый беренче модельне итальян математигы Е.Бельтрами Евклид фәзасында даими тискәре Гаусс кәкрелеге (псевдосфера) өслегендә төзи (1868). Турылар ролен бу өслекнең геодезик сызыклары уйный. Бу өслек бары тик локаль интерпретация генә булса да, ягъни Лобачевский яссылыгының бер өлешен генә чагылдырса да, Лобачевский геометриясен танытуда зур психологик роль уйный. Лобачевский геометриясе проектив геометрия нигезендәге беренче интерпретациясен (ирекле сандагы үлчәүләр өчен) 1871 елда немец математигы Ф.Клейн эшли, ул Евклид геометриясенең дә, немец математигы Б.Риманның эллиптик геометриясенең дә (сфера геометриясенә якын) проектив интерпретациясен күрсәтә. Клейн геометриягә төркемнәр ягыннан якын килүне тәкъдим итә, аның буенча һәрбер геометрия хәрәкәт ролен үтәүче һәм фигураларны үзара чагыштырырга мөмкинлек бирүче рәвеш үзгәртүләр төркеме белән характерлана. Шулай итеп, нигезләрендә яткан элементларның характеры белән генә түгел, бу геометрияләрдә хәрәкәт ролен үтәүче рәвеш үзгәртүләр төркеменең төзелеше белән дә аерылып торган геометрияләр барлыгы ачыклана. Лобачевский геометриясенең башка модельләре арасында француз математигы А.Пуанкареның конформик моделе дә киң танылу ала, ул аны комплекслы үзгәрешленең автоморф функцияләре теориясен төзегәндә таба (1882). Лобачевский геометриясенең математикадагы роле геометрик кысалар белән генә чикләнми. Лобачевский үзе үз геометриясе алымнарын 200 дән артык интегралны исәпләгәндә, шулай ук астрономик үлчәүләр һәм реаль физик фәза төзелеше турындагы мәсьәләне хәл иткәндә куллана.

XIX йөз ахырында математиклар алдына килеп баскан иң мөһим мәсьәләләрнең берсе — геометриянең аксиоматик нигезләнеше мәсьәләсе була. Бу эшне 1899 елда немец математигы Д.Гильберт үзенең «Геометриянең нигезләре» («Основания геометрии», М.–Л., 1948) дигән китабында төгәлли һәм бу хезмәт математиканың башка бүлекләрен үстерү өчен башлангыч була. XX йөз башында Лобачевский геометриясе белән махсус чагыштырмалылык теориясенең кинематикасы арасында тыгыз бәйләнеш урнаштырыла. Совет галиме А.А.Фридман хезмәтләре нәтиҗәсендә Лобачевский геометриясенең космология өчен әһәмияте ачыклана (1922). Ул Эйнштейн тигезләмәләрен чишә һәм алардан Галәмнең киңәюе турында нәтиҗә чыгарыла, соңрак бу нәтиҗәне Америка астрономы Э.Хаббл тәҗрибәләр белән раслый (1929). XX йөз ахырында Лобачевский геометриясе һ.б. нәевклид геометрияләрнең физикада, механика, биология һ.б. табигыять фәннәрендә кулланылышын ачкан хезмәтләр дөнья күрә.

Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений: В 5 т. М.–Л., 1946–51;

шул ук. Научно-педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом: Фрагменты. Письма. М.–Л., 1976;

Норден А.П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. М., 1953;

Каган В.Ф. Лобачевский и его геометрия. М., 1955; Об основаниях геометрии. М., 1956;

Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. К., 1964;

Ефимов Н.В. Высшая геометрия. М., 1971;

Лаптев Б.Л. Геометрия Лобачевского, её история и значение. М., 1976.

Автор — Б.Н.Шапуков