Геометрия

Геометрия математиканың башка бүлекләре белән тыгыз бәйләнгән, шуңа күрә аның чикләре төгәл билгеләнмәгән.

Геометриягә кагылышлы белемнәр бик борынгы заманнан ук (Мисыр, Вавилон) җир кишәрлекләре мәйданын, җисемнәрнең күләмен үлчәү, төзү, сугару һәм башка эшләр, астрономик күзәтүләр ихтыяҗы нәтиҗәсендә тупланып килгән.

Борынгы грек галиме Евклидның «Башлангычлар» («Начала») исемле хезмәтендә (безнең эрага кадәр III йөз) беренче мәртәбә аксиомалар – геометриянең төп законнары тәгъбирләнгән, алар ярдәмендә иң гади фигураларның төрле үзлекләре исбатлап чыгарылган.

Архимед (мәйдан һәм күләмнәрне тулыландырып исәпләү ысулы, безнең эрага кадәр III йөз), Аполлоний (коник кисемнәр турындагы тәгълимат, безнең эрага кадәр III йөз), Птолемей (сферик геометрия, безнең эрага кадәр II йөз) ачышлары да – геометрия өлкәсендәге мөһим казанышлар.

XVII йөздә Р.Декарт (1637 ел) тарафыннан төзелгән координаталар ысулы геометрия мәсьәләләрен саннар теленә күчерергә һәм аларны алгебраик ысуллар белән чишәргә мөмкинлек бирә һәм яңа ачышларның – дифференциаль һәм интеграль исәпләүләрнең (И.Ньютон һәм Г.В.Лейбниц) нигезен тәшкил итә.

XVIII йөздә евклидча фәзадагы кәкреләрне һәм өслекләрне өйрәнгәндә анализ ысуллары куллану барышында (бертуган Я. һәм И.Бернуллилар, Г.Монж, Л.Эйлер һәм башка хезмәтләрендә) классик дифференциаль геометриягә нигез салына.

XIX йөздә өслекләр теориясендәге иң мөһим нәтиҗәләр немец математигы К.Ф.Гаусс исеме белән бәйле. Ул өслекнең эчке геометриясе дигән, бөгелгәндә дә үзгәрмәүчән эчке үзлекләре җыелмасы төшенчәсен кертә (1827 ел).

Евклидча геометриядән бөтенләй аермалы, логик каршылыксыз булган геометрия төзеп, Н.И.Лобачевский бу фәннең үсешендә принципиаль яңа адым ясый.

XIX йөздә Лобачевский геометриясе барлыкка килү, шуннан соң бүтән нәевклид геометрияләр төзелү математикада аксиомалар ысулын үстерүгә һәм камилләштерүгә этәргеч бирә (Д.Гильберт һ.б.).

Немец математигы Ф.Клейнның рәвеш үзгәртүләр төркемнәре теориясе нигезендә нәевклид геометрияләр классификациясен төзүе XIX йөздәге зур казанышларның берсе булып санала.

1854 елда немец математигы Б.Риман нәевклид геометрияләр кысаларына сыймаган фәзалар төзи. Риман күптөрлелекләре һәм аларны гомумиләштерү буенча алып барылган тикшеренүләрдә «гомумиләштерелгән фәзалар» дип аталган төшенчә кертелә, ә аларны өйрәнү XX йөздә киң колач ала. Мәсәлән, А.Эйнштейн, дүрт үлчәмле Риманча фәза-вакыт төшенчәсен кулланып (1916 ел), чагыштырмалылыкның гомуми теориясен төзи.

XIX–XX йөзләр чигендә математикада абстракт карашларның үсеше геометрияне күплекләр теориясе нигезенә күчерүгә китерә. Француз математигы А.Пуанкареның күптөрлелекләрдә интеграль исәпләүләр, француз математигы М.Фреше белән немец математигы Ф.Хаусдорфның метрик күптөрлелекләр теориясенә караган һәм Мәскәү математика мәктәбе вәкилләренең (П.С.Александров, П.С.Урысон, А.Н.Колмогоров, Л.С.Понтрягин) тикшеренү нәтиҗәләре геометриянең яңа бүлеге – топология фәне барлыкка килүгә ярдәм итә, ә ул математиканың бүтән өлкәләре үсешенә дә зур йогынты ясый.

XX йөздә дифференциаль геометриядә ике юнәлеш билгеләнә. Беренче юнәлеш, математик анализ ысулларын файдаланып, бирелгән нокта тирәсендәге геометрик объектларның локаль үзлекләрен өйрәнә һәм ул тикшерелә торган объектларны сызыкчалатырга, сызыкча алгебра ысулларын кулланырга мөмкинлек бирә. Шул юнәлешнең үсүе нәтиҗәсендә К.Риччи, Т.Леви-Чивита, Э.Картан һәм башкалар хезмәтләрендә тензорлы анализга, бәйләнгәнлек теориясенә һәм ковариант дифференциаллауларга нигез салына.

Икенче юнәлеш – дифференциаль топология – 1930 еллар уртасында Х.Уитни һәм Э.Штифель, Л.С.Понтрягин, Ш.Чжень һәм башка хезмәтләрендә нигезләнә.

Шома күптөрлелекләрнең топологик инвариантларын, аларны сыйфатлаучы классларның терминнарын өйрәнгәндә гаять зур нәтиҗәләргә ирешелә (В.А.Рохлин, Д.У.Милнор, М.Ф.Атья һ.б.). Гомумән алганда, геометрия кәкреләр һәм өслекләрнең төзелешен Евклид һәм нәевклид фәзаларында һәрьяклап, шул исәптән аларның шома түгеллеген һәм үзенчәлекле нокталары булуын да исәпкә алып өйрәнә (Н.В.Ефимов, А.Д.Александров, А.В.Погорелов, Н.Кейпер һ.б.).

Казан геометрия мәктәбе галимнәре нәевклидча, риманча һәм «гомумиләштерелгән» фәзаларны өйрәнүгә мөһим өлеш кертәләр.

П.А.Широков тарафыннан алынган (1923–1925 еллар) нәтиҗәләр бөтен дөньяга таныла, аның риманча күптөрлелекләр структураларына караган идеяләре Казан геометрлары тикшеренүләренең юнәлешен билгели (Б.Л.Лаптев, И.П.Егоров, А.З.Петров, П.И.Петров).

Б.Л.Лаптев Финслер күптөрлелекләрен тикшергәндә тензорлы ысуллар куллана (1938 ел), аннары терәк элементлар фәзаларының гомуми теориясен төзи (1954–1958 еллар).

Эйнштейнның гомуми чагыштырмалылык теориясе кысаларында тартылу кырларын тикшерүгә Риман геометриясе ысулларын һәм төркемнәр теориясен кулланып, А.З.Петров дөньякүләм югары нәтиҗәгә ирешә (1954 ел). Аның шәкертләре (В.Р.Кайгородов, А.В.Әминова һ.б.) тарафыннан төрле класска кергән ирекле структуралы риманча күптөрлелекләрнең үзлекләре өйрәнелә.

А.П.Норден нормальләштерү ысулын уйлап таба (1937–1938 еллар), зур гомумилеккә ия ысулны ул үзе һәм шәкертләре (В.И.Шуликовский, А.П.Широков, В.В.Вишневский, В.В.Шурыгин һ.б.) риманча күптөрлелекләрнең махсус типларын һәм аффин бәйләнешле күптөрлелекләрне, сызыкча һәм конформлы геометрияне өйрәнгәндә кулланалар.

А.П.Норденның геометриясендә комплекслы, икеләтә һәм дуаль саннарны куллану нәтиҗәләре өстендә эшләп, А.Д.Широков алгебралар өстендә күптөрлелекләр теориясен төзи, ул теория Казан университеты геометриясе кафедрасының төп фәнни юнәлешләренең берсенә әверелә.

Б.Л.Лаптев шәкерте Б.Н.Шапуков тарафыннан катламнарга бүленгән күптөрлелекләрнең структуралары һәм аларның аналитик механика мәсьәләләрендә кулланылуы өйрәнелә (1970–1990).

Күптөрле, шул исәптән локаль структураларны фәнни тикшерү белән беррәттән, алгебраик һәм дифференциаль топологиянең гомуми ысуллары да кулланыла (В.Е.Фомин, М.А.Малахальцев, К.Б.Игудесман).

Казанда П.А.Широков нигезләгән геометрик семинар даими эшләп килә, анда Россия һәм чит ил галимнәре докладлар ясый. Россия күләмендә һәм халыкара фәнни конференцияләр үткәрелә.

1992 елдан (5 елга бер мәртәбә) Казан университетында математикларның Н.И.Лобачевский исемендәге медальгә халыкара конкурсы уздырыла.

Математика, её содержание, методы и значение: В 3 т. М., 1956;

Каган В.Ф. Очерки по геометрии. М., 1963;

История математики: В 3 т. М., 1970-1972;

Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии. М., 1976; Математика 19 века: Геометрия. М., 1981;

Норден А.П., Широков А.П. Наследие Н.И.Лобачевского и деятельность казанских геометров // Успехи матем. наук. 1993. Т. 48, вып. 2 (290);

Математический энциклопедический словарь. М., 1988.

Автор – Б.Н.Шапуков