Казанская геометрическая научная школа

Начало геометрических исследований в Казани было положено Н.И.Лобачевским, создателем неевклидовой геометрии.

Работа по распространению и развитию идей Лобачевского, исследование его деятельности и научного творчества началась в России в конце XVIII в. с образованием Казанского физико-математического общества (1890) и появлением первых исследований в области неевклидовых геометрий.

Ф.М.Суворову принадлежат работы по теории дифференциальных инвариантов трехмерных римановых пространств. А.П.Котельников известен своими результатами по теории винтов евклидового и неевклидовых пространств, открытием так называемого принципа перенесения в линейчатой геометрии неевклидовых пространств, основанного на применении алгебр комплексных, двойных и дуальных чисел.

Д.М.Синцов положил начало исследованию в области неголономной геометрии в связи с рассмотрением дифференциальных систем немецкого математика И.Ф.Пфаффа.

Деятельность Н.Н.Парфентьева, автора статей о проблеме пространства и натурфилософии Лобачевского, способствовала повышению уровня преподавания математики и механики в учебных заведениях Казани.

Развитие геометрических исследований и становление Казанской геометрической научной школы связаны с именем профессора П.А.Широкова, ученика Н.Н.Парфентьева.

С 1926 г. под его руководством в Казанском университете начал работать геометрический семинар, участниками которого стали преподаватели математических кафедр, аспиранты и студенты старших курсов.

В 1934 г. была образована кафедра геометрии в университете, где П.А.Широков читал курсы лекций по геометрии Лобачевского, тензорному анализу, геометрии римановых пространств, теории винтов, спинорному анализу; вышла в свет ставшая широко известной его работа «Тензорное исчисление» (Москва–Ленинград, 1934 г.). П.А.Широков является основателем одного из ведущих научных направлений Казанской геометрической научной школы – по изучению пространств с различными структурами. Им было проведено исследование римановых пространств, важность изучения которых определялась их приложениями к механике и общей теории относительности. Его интересовали пространства постоянной кривизны, в том числе пространство Лобачевского, и близкие к ним по своим свойствам; были выделены и исследованы приводимые пространства; получили развитие его работы по теории симметрических пространств; положено начало изучению А-пространств, несущих на себе почти комплексную структуру (пространства Келера–Широкова).

Особое место в деятельности П.А.Широкова и его учеников занимали исследования научного наследия Н.И.Лобачевского и популяризация идей неевклидовой геометрии, организация международных конкурсов на соискание премии имени Н.И.Лобачевского (см. Международная премия имени Н.И.Лобачевского). Казанские геометры приняли активное участие в подготовке и проведении юбилейной конференции, посвященной 150-летию со дня рождения великого геометра (1943), организованной Казанским университетом совместно с Отделением математики Академии наук СССР. Был осуществлен проект по изданию полного собрания сочинений Н.И.Лобачевского в 5 томах (Москва–Ленинград, 1946–1951 гг.), в подготовке которого приняли участие и казанские математики. Вышел сборник заключительных материалов по наследию Н.И.Лобачевского «Научно-педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты. Письма» (Москва–Ленинград, 1976 г.).

Ученики П.А.Широкова – Б.Л.Лаптев, И.П.Егоров, А.З.Петров, П.И.Петров, Г.С.Бархин, В.Г.Копп, А.П.Заборская – продолжили научные исследования Казанской геометрической научной школы. Б.Л.Лаптев получил фундаментальные результаты по теории обобщенных пространств; с использованием тензорных методов исследовал пространства Финслера, представляющие интерес в связи с геометризацией вариационного исчисления; основал теорию пространств опорных элементов, усовершенствовал аппарат дифференцирования Ли в этих пространствах. В 1970-х гг. его ученик Б.Н.Шапуков развил и обобщил эти результаты в рамках теории структур на расслоенных многообразиях. Работы Б.Л.Лаптева в области геометрии обобщенных пространств были отмечены медалью имени П.Л.Чебышева Академии наук СССР (1984). А.З.Петров, применяя инвариантно-групповые методы в теории тяготения, установил классификацию пространств Эйнштейна и полей тяготения общего вида в соответствии с алгебраической структурой тензора кривизны пространства–времени. В 1960 г. в Казанском университете им была основана кафедра теории относительности и гравитации. Совместно с учениками (В.Р.Кайгородов, А.В.Абдуллин, В.И.Голиков, А.М.Анчиков, А.В.Аминова, Р.Ф.Билялов и другие) А.З.Петров исследовал вопросы классификации пространств тяготения по группам движений, конформные и проективные преобразования этих пространств, вопросы геодезического моделирования полей тяготения, за что в 1972 г. был удостоен Ленинской премии. В продолжение исследований Ф.М.Суворова П.И.Петровым была разработана теория дифференциальных инвариантов четырехмерных римановых пространств произвольной сигнатуры, построена полная система скалярных инвариантов второго порядка.

Важный период в истории Казанской геометрической научной школы связан с деятельностью А.П.Нордена, представителя московской геометрической школы. В 1945 г. он возглавил кафедру геометрии Казанского университета, где продолжал развивать метод нормализации поверхностей проективных пространств, обобщив его на многомерный случай. Метод позволил получить ряд фундаментальных результатов в конформной, линейчатой, биаксиальной, биаффинной и других геометриях, определяемых подгруппами проективной группы, связал неевклидовы геометрии с геометриями обобщенных пространств. Им были изучены вопросы применения в геометрии гиперкомплексных чисел. А.П.Норден подготовил более 40 кандидатов и докторов наук, в том числе А.И.Чахтаури, В.В.Ведерникова, Р.Г.Бухараева, В.И.Шуликовского, А.П.Широкова, В.В.Вишневского, В.В.Шурыгина.

Применение тензорных методов исследования позволило В.И.Шуликовскому внести существенный вклад в теорию сетей и конгруэнций трехмерного евклидова пространства, результаты исследования отражены в его монографии «Классическая дифференциальная геометрия» (Москва, 1963 г.), а работа в Пловдивском педагогическом институте положила начало творческому сотрудничеству геометров Болгарии с казанскими учеными, которое продолжено казанскими математиками (В.В.Вишневский, Б.Г.Габдулхаев, А.Д.Ляшко).

А.П.Широков разработал теорию пространств над ассоциативными унитальными алгебрами общего вида, которая стала логическим развитием идей его отца по применению в геометрии комплексных структур. Было показано, что структуры, определяемые алгебрами, естественным образом возникают в касательных расслоениях, неевклидовых пространствах, им завершены и опубликованы работы отца, в том числе монография «Аффинная дифференциальная геометрия» (Москва, 1959 г.).

В.В.Вишневский исследовал многообразия с аффинорной структурой общего вида в их тесной связи с алгебрами плюральных чисел и показал, что такие структуры могут быть реализованы на полукасательных расслоениях.

Исследование В.В.Шурыгина посвящено применениям локальных алгебр в расслоенных многообразиях струй высшего порядка, представляющих, в частности, интерес для теории дифференциальных уравнений; в терминах теории когомологий были найдены препятствия (классы Атьи-Молино и другие) к существованию некоторых дифференциально-геометрических структур.

Основные работы ученых Казанской геометрической научной школы посвящены изучению структур на дифференцируемых многообразиях, определяемых алгебрами различного типа, и их приложениям. Структуры такого типа естественным образом возникают в неевклидовых пространствах, на расслоенных многообразиях и многообразиях со слоением, в задачах аналитической механики и теоретической физики. При их изучении используется широкий арсенал современных математических методов: дифференциальной геометрии, теории групп, алгебраической топологии, теории дифференциальных уравнений и других.

В 1992 г. в Казанском университете проведена конференция, посвященная 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского. C этого года Казанский университет каждые 5 лет объявляет международный конкурс «За выдающиеся работы в области геометрии» на медаль имени Н.И.Лобачевского.

Казанский университет. 1804–1979: Очерки истории. Казань, 1979.

Норден А.П., Широков А.П. Наследие Н.И.Лобачевского и деятельность казанских геометров // Успехи математических наук. 1993. Том 48, выпуск 2(290).

Механико-математический факультет Казанского университета. 1960–2000: Очерки истории. Казань, 2000.

Автор – Б.Н.Шапуков