Анализ математический

Процесс предельного перехода (метод исчерпывания, понятие бесконечно малой) применялся еще в IV–III веках до нашей эры учеными Древней Греции (Евдокс, Архимед) и в Средние века – учеными Европы в основном для решения задач вычисления площадей и объемов геометрических фигур.

Как раздел математики математический анализ сформировался в XVII–XVIII веках в трудах И.Ньютона, Г.Лейбница, Л.Эйлера, а строгая теория пределов была разработана в трудах французского математика О.Коши в начале XIX в.

В Казанском университете математический анализ как научное направление возник благодаря трудам Н.И.Лобачевского, который в 1834 году дал первое в науке определение числовой функции: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе».

Его преемник по кафедре чистой математики А.Ф.Попов связал аналитические методы с исследованием уравнений гидродинамики, заложил основы исследования в области математической физики. Труды В.Г.Имшенецкого по интегрированию уравнений в частных производных (1865, 1868) в течение ряда лет были основой в этой области и переведены на иностранные языки.

В начале 1930-х годов в Казани исследования по анализу математическому проводились под руководством Б.М.Гагаева. Им решена проблема Н.Н.Лузина о перечислении систем ортогональных функций, устойчивых относительно дифференцирования (1927). Многие из его учеников возглавили важные научные направления в Казани и других научных центрах России (Ю.Г.Борисович, Б.Г.Габдулхаев, Ф.Д.Гахов, А.Д.Ляшко, В.Н.Монахов, Г.С.Салехов и др.).

Со второй половины 1950-х годов в Казанском университете получило развитие новое направление в теории аналитических функций – теория обратных краевых задач. Общая постановка ее в рамках теории аналитических функций была дана М.Т.Нужиным. Фундаментальные исследования в области прямых краевых задач и сингулярных интегральных уравнений проводились Ф.Д.Гаховым и его учениками. Им дано исчерпывающее решение знаменитой проблемы Б.Римана (задачи линейного сопряжения для аналитических функций). Исследована краевая задача Б.Римана на римановых поверхностях и в классе автоморфных функций (Л.И.Чибрикова, И.А.Бикчантаев), на неспрямляемых кривых (Б.А.Кац), изучены граничные задачи типа Гильберта (Е.П.Аксентьева, Ю.В.Обносов), краевые задачи для уравнений смешанного типа (В.И.Жегалов). Л.А.Аксентьевым и его учениками получены достаточные условия однолистности и конечнолистности для аналитических функций. Исследована задача построения разветвленных накрытий римановых поверхностей (Ф.Г.Авхадиев, С.Р.Насыров, И.Р.Нежметдинов, Е.А.Широкова).

В Казанском педагогическом институте успешные исследования в области качественной теории дифференциальных уравнений велись под руководством М.И.Альмухамедова.

В 1970-е годы в Казанском университете на базе созданного А.Н.Шерстнёвым семинара «Алгебры операторов и их приложения» были развернуты исследования в области функционального анализа. Выполнен ряд приоритетных научных исследований по некоммутативному интегрированию относительно нецентральных функционалов и строению мер на проекторах в топологических алгебрах (С.В.Дорофеев, Г.Д.Луговая, М.С.Матвейчук, П.Г.Овчинников, О.Е.Тихонов, Н.В.Трунов), а также по изучению топологических критериев сигма-аддитивности и слабой сходимости цилиндрических вероятностей (Д.Х.Муштари).

В области конструктивной теории функций Б.Г.Габдулхаев со своими учениками разработал приближённые методы решения широкого класса операторных уравнений, что позволило существенно развить общую теорию оптимизации численных методов.

Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1977.

Чибрикова Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань, 1977.

Трунов Н.В., Шерстнёв А.Н. Введение в теорию некоммутативного интегрирования // Современные проблемы математики. Новейшие достижения. М., 1985. Т. 27.

Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А., Елизаров А.М. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения / ВИНИТИ // Итоги науки и техники. Серия Математический анализ. М., 1987. Т. 25.

Mushtari D.H., Probabilities and Topologies on Linear Spaces // Kazan Math. Found. 1996.

Автор – А.Н.Шерстнёв